Courbes elliptiques et cryptographie : factorisation de grands nombres

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MISC
Numéro
39
Mois de parution
septembre 2008
Spécialité(s)


Résumé

Décomposer le nombre 767 en produits de facteurs premiers est assez simple, mais qu'en est-il pour le nombre 214 465 394 374 108 286 597 905 734 489 835 068 072 488 263 267 274 573 651 ? Ce nombre de 57 chiffres n'est pourtant pas très grand comparé à ceux de plus de 300 utilisés par les systèmes de chiffrement actuels. Les techniques de factorisation évoluent et deviennent de plus en plus efficaces. Nous nous intéressons à la méthode de factorisation qui s'appuie sur les courbes elliptiques, objet mathématique déjà bien connu dans la cryptographie moderne.


1. Introduction

L'un des grands défis posé par la cryptographie moderne, qui intègre une grande quantité de mathématiques, est la résolution de problèmes à haute complexité. Dans ces problèmes, le fossé entre facile et incroyablement complexe est pourtant bien mince. En effet, il ne dépend que de la connaissance d'une donnée particulière : la clé.

Le problème de factorisation des grands nombres est l'un de ces problèmes très complexes, et il intéresse les cryptanalystes modernes du fait qu'il est à l'origine de la fiabilité de quelques cryptosystèmes actuels (RSA, par exemple). Détaillons un peu ce problème : prenons deux grands nombres premiers et multiplions les entre eux. Le résultat donne un nombre composé, que nous nommerons n, de plusieurs centaines de bits. La multiplication en elle-même est une opération simple à réaliser, de même que retrouver l'un de ces nombres premiers à partir de n et de l'autre nombre. Néanmoins, il s'avère...

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